Les réponses sur l’origine de cette expression sont souvent déviées par une autre expression : comme "se tirer la bourre", dont l’origine viendrait de la chasse à courre où les chiens tirent les poils du gibier avec les crocs...
Bourrer veut dire remplir complètement de bourre ou de matière souple... La qualité du chien d chasse se mesure alors à la quantité de bourre qu’il a entre les crocs.
En fusionnant ces idées, "se mettre la bourre" donne une sensation d’augmentation de pression, donc de compression.
C’est bien le sens qui s’applique à l’usage de cette expression par les canonniers, où la bourre, faite de paille et d’étoupe, est intégrée dans les tubes des canons par la bouche, après la poudre, et comprime cette dernière assurant ainsi un certain compactage de l’ensemble. A la mise de feu, avec un boutefeu, la combustion provoque alors une forte éjection des gaz, d’autant plus forte que le bourrage est bien effectué, qui propulsent le boulet hors du tube.
Donc la portée du boulet est bien dépendante de la qualité du travail de bourrage.
La qualité de l’équipe de pièce viendra de l’observation du résultat sur le terrain.
Alors les pièces entre elles "se tirent la bourre" pour l’émulation des hommes qui les composent.
Et puis l’expression se généralise à tous les niveaux de compétition...